Top.Mail.Ru

Научно-исследовательская лаборатория «Нелинейные и нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения»

Летом 2022 г. в стенах факультета физико-математических и естественных наук создана научная лаборатория «Нелинейные и нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения». Это стало возможным благодаря победе заявки, поданной Математическим институтом им. С.М. Никольского РУДН совместно с ведущим специалистом в области уравнений в частных производных и их приложений к математической физике профессором Сергеем Борисовичем Куксиным. 

Научный коллектив более, чем на 2/3 состоит из молодых исследователей, не достигших 39 лет.

Куксин Сергей Борисович

Главные научные направления

Изучение волновой турбулентности, описываемой кубическим уравнением Шрёдингера с добавленной диссипацией и случайной силой на торе большого периода.
Исследование теплопереноса в кристаллах.
Изучение волновых кинетических уравнений.
Исследование кинетики высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе и получение условий удержания плазмы.
Численное моделирование течения плазмы в пробочной ловушке с учетом внешнего магнитного поля.
Исследование биологических и биомедицинских задач включая модели вирусной инфекции в математической иммунологии и эпидемиологии методами качественной теории уравнений реакции-диффузии и их математического моделирования.
Исследование разрешимости и гладкости обобщенных решений нелокальных краевых задач.

Достижения

Изучение различных уравнений больцмановского типа, встречающихся в теории волновой турбулентности

С единой точки зрения рассмотрен широкий класс нелинейных кинетических уравнений, используемых в современной математической физике, включающий волновое кинетическое уравнение, используемое в теории слабой турбулентности. Все эти уравнения можно рассматривать как различные формы обобщенного кинетического уравнения (ОКУ), введенного в работе. Исследованы общие свойства этого уравнения (законы сохранения, монотонные функционалы). На основе идей классической кинетической теории уравнения Больцмана, которое в силу наличия интегрального члена является нелокальным, построены дискретные модели ОКУ. Модель порядка n≥4 — это просто система n нелинейных ОДУ первого порядка, сохраняющая главные свойства моделируемого кинетического уравнения. Ожидается что при n→∞ решение этой системы сходятся к решению ОКУ.
Особое внимание уделено волновым кинетическим уравнениям. Рассмотрена наиболее распространённая форма такого уравнения, где b(s)≡y(s)≡0 и исследованы соответствующие дискретные модели. Доказано существование монотонного по времени функционала (аналога энтропии) на решении модели любого порядка n≥4 для волнового кинетического уравнения. Этот функционал построен в работе.
На основе такого свойства исследовано качественное поведение решения для случая n=4 , который для уравнения Больцмана соответствует известной модели Бродуэлла. Доказана сходимость решения к равновесию при неограниченном возрастании времени.

Разработка программ для математического моделирования замкнутого электрического тока в облучаемом материале и пристеночной плазме при импульсном нагреве
В рамках проекта была создана и зарегистрирована программа для ЭВМ для моделирования распределения тока в слабоионизованной плазме испарённого вольфрама и в материале «Программа PHMF.01.22 для расчета распредления концентрации вещества в спиральном магнитном поле».

Исследование биологических и биомедицинских задач включая модели вирусной инфекции в математической иммунологии и эпидемиологии методами качественной теории уравнений реакции-диффузии и их математического моделирования
Разработана и изучена математическая модель респираторных вирусных инфекций в культурах клеток и в тканях организма с целью изучения влияния иммунного ответа на скорость распространения инфекции и на вирусную нагрузку. Показано, что инфекция распространяется в культуре клеток как реакционно-диффузионная волна. Основными характеристиками этой волны являются скорость распространения и общая вирусная нагрузка. Под общей вирусной нагрузкой понимается общее количество вируса в культуре в каждый момент времени. Скорость распространения волны инфекции определяет размер инфицированной ткани и, как следствие, уровень проявления симптомов инфекционного заболевания. Общая вирусная нагрузка в верхних дыхательных путях при респираторных инфекциях пропорциональна инфекционности вируса, т. е. скорость передачи инфекции между людьми. Скорость распространения волны инфекции и общая вирусная нагрузка – это различные характеристики, и меньшая скорость распространения может быть связана как с более низкой, так и с более высокой общей вирусной нагрузкой в зависимости от типа вируса и культуры клеток.

Исследование качественных свойств решений функционально-дифференциальных уравнений
Смешанная краевая задача для эллиптического дифференциально-разностного уравнения.
Рассматривается смешанная краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения, где на одной части границы заданы краевые условия типа Дирихле, на другой части границы — краевые условия типа Неймана.
Показано, что такая задача эквивалентна нелокальной смешанной краевой задаче для эллиптического дифференциального уравнения в ограниченной односвязной области Q. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости и о гладкости обобщенных решений таких задач.

Исследование первой краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения с переменными коэффициентами на конечном интервале нецелой длины
Рассматривается первая краевая задача для дифференциально-разностного уравнения на конечном интервале с переменными коэффициентами. Доказаны теоремы о существовании и единственности обобщенного решения, а также теоремы о гладкости обобщенного решения.

Исследование задачи Н.Н. Красовского об успокоении нестационарной системы управления с последействием нейтрального типа
Рассматривается задача Н.Н. Красовского об успокоении нестационарной системы управления с последействием нейтрального типа, в которой размерности вектор-функций управления и состояния системы различны. Требуется привести состояние системы, заданное некоторой вектор-функцией на начальном отрезке к нулевому состоянию на финальном отрезке. При этом необходимо минимизировать некоторый нелокальный квадратичный функционал, содержащий вектор-функцию состояния системы и ее производные в различные моменты времени. Эта вариационная задача сводится к краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с вырождением.
Доказана теорема об эквивалентности вариационной задачи Н.Н. Красовского об успокоении нестационарной системы управления с последействием и краевой задачи для системы дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами нейтрального типа с вырождением.

Спектральные свойства дифференциально-разностных операторов на конечном интервале
Рассмотрен вопрос о существовании негладких собственных функций задачи Дирихле для дифференциально-разностного оператора на интервале (0, d). Приведен пример самосопряженного положительно-определенного дифференциально-разностного оператора, для которого имеется счетное число собственных значений, отвечающих гладким собственным функциям и счетное число собственных значений, отвечающих собственным функциям, для которых гладкость нарушается.
Полученные результаты оформлены и подготовлены для публикации, которую планируется отправить в журнал в следующем отчетном периоде.

Спектральные свойства дифференциального оператора четвёртого порядка с нелокальными краевыми условиями

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка со спектральным параметром на интервале (0, 1). Вместо краевых условий рассматриваются 4 равенства интегралов от неизвестной функции и ее производных с некоторыми весовыми функциями специального вида заданным константам. Исследуются вопросы построения априорных оценок решений в нормах, содержащих параметр, и однозначной разрешимости рассматриваемой нелокальной задачи для достаточно больших значений параметра, лежащих в некотором угле на комплексной плоскости.
Для дифференциального уравнения четвертого порядка со спектральным параметром и интегральными условиями получены априорные оценки решений в нормах, содержащих параметр (в смысле М.С. Аграновича, М.И. Вишика). Доказаны однозначная разрешимость рассматриваемой задачи для достаточно больших значений. параметра, лежащих в некотором угле комплексной плоскости, а также дискретность спектра соответствующего оператора.

Исследование системы уравнений Власова-Пуассона
Уравнения Власова-Пуассона в областях с границей описывают кинетику заряженных частиц высокотемпературной плазмы в установках, осуществляющих управляемый термоядерный синтез. Случай тороидальной области соотносят с тороидальной установкой удержания плазмы – токамаком, а случай цилиндрической области - с пробочной ловушкой.
В общей постановке вопрос о существовании классических решений смешанных задач для системы уравнений Власова-Пуассона является нерешенной проблемой. Кроме того, необходимо отметить, что с математической точки зрения сложность задачи связана с тем, что система содержит уравнения различного вида: уравнения второго порядка эллиптического типа (уравнение Пуассона) и уравнения первого порядка (уравнения Власова). Эти уравнения решаются совершенно различными методами и исследуются в разных функциональных пространствах. Поэтому соединение указанных уравнений в единую систему приносит целый ряд дополнительных трудностей.
Были построены новые примеры стационарных решений уравнений Власова с заданным ненулевым потенциалом и компактными по пространственной переменной носителями функции распределения. При построении решений использовалась техника срезающих функций: решения строятся в виде срезающих функций, аргументы которых – различные частные решения уравнений Власова с заданным потенциалом. При построении решений в качестве аргументов срезающих функций используются первые интегралы стационарных уравнений Власова с ненулевым потенциалом, которые выписываются явным образом. Построенные решения будут использованы в качестве тестовых аналитических решений уравнений Власова для дальнейшего анализа численных решений.

Продолжая использовать сайт fizmat.rudn.ru вы соглашаетесь на использование cookies. Более подробная информация на странице Политика конфиденциальности