Квадратуры и разностные схемы со сверхстепенной сходимостью

О проекте

Во многих прикладных задачах требуется экономичное вычисление квадратур с высокой точностью. Примерами являются вычисление многих специальных функций, разложение заданной функции в ряд или интеграл Фурье, вычисление различных интегральных преобразований, решение интегральных уравнений, решение краевых задач для уравнений математической физики, записанных в интегральной форме, и многие другие.

Если размерность интеграла не превосходит 3, то применяют сеточные квадратурные формулы средних, трапеций и Симпсона. Их погрешность зависит от шага сетки по степенному закону, причем показатель степени равен порядку точности квадратурной формулы.

Для интегралов более высокой размерности наиболее эффективны методы Монте-Карло. Они основаны на использовании случайных чисел с заданной функцией распределения. На практике используют детерминированные наборы чисел, имитирующие свойства случайных последовательностей. Работоспособность методов данного класса сильно зависит от качества этих наборов. Лучшими являются квазислучайные последовательности Соболя и теоретико-числовые сетки Коробова: для непериодической подынтегральной функции погрешность таких квадратур обратно пропорциональна числу точек независимо от размерности интеграла. Расчеты с высокой точностью требуют больших объемов вычислений.

В данном проекте предлагаются подходы, которые обеспечивают сверхстепенную (а в ряде случаев — сверхэкспоненциальную) сходимость сеточных квадратурных формул и квадратур на точках Коробова. Это означает, что при удвоении числа точек число верных знаков примерно удваивается. Такая скорость сходимости кардинально быстрее традиционной степенной. Построенные методы будут использованы для составления разностных схем для интегральных уравнений Фредгольма и одномерных линейных краевых задач. Эти схемы также будут сходиться по сверхстепенному закону. Они являются принципиально новыми.