Нелокальные краевые задачи: теория индекса и квазиклассические асимптотики

Руководитель проекта

Савин Антон Юрьевич

профессор

О проекте

Нелокальные задачи возникают во многих областях математики, а также в ее приложениях к науке и технике. В данном проекте мы сосредоточимся на нелокальных краевых задачах, связанных с действиями групп на многообразиях. Рассматривается задача об исследовании нелокальных эллиптических задач, а именно, необходимо получить понятие символа, доказать фредгольмовость эллиптических задач, получить гомотопическую классификацию и предъявить формулы индекса для новых классов таких задач.

Кроме этого, случай гиперболических уравнений (или, более общо, уравнений с вещественными характеристиками) остается практически не исследованным в случае нелокальных задач, главным образом из-за сложности предмета. Здесь задача состоит в том, чтобы расширить существующие и хорошо зарекомендовавшие себя для локальных задач методы, такие как интегральные операторы Фурье и канонический оператор Маслова, чтобы охватить нелокальные кра

Результаты проекта

Определены траекторные символы для нелокальных краевых задач и задач с условиями сопряжения, отвечающих бесконечным группам преобразований, не сохраняющих подмногообразие с краем. Установлен критерий фредгольмовости таких задач.

Дан новый подход к нахождению формул индекса краевых задач, опирающийся на теорию циклических когомологий. В качестве примера определены циклические коциклы на алгебре символов.

Исследована проблема индекса для эллиптических операторов, ассоциированных со сдвигами бесконечного цилиндра. Предъявлена формула индекса в терминах главного символа таких операторов.

Разработана общая конструкция квазиклассических асимптотик для нелокальных (псевдо) дифференциальных операторов с малым параметром при производных, ассоциированных с действием группы диффеоморфизмов многообразия или канонических преобразований кокасательного расслоения.

Изучена дискретная версия нелокальных операторов – операторы на решетке.

Получены приложения к задаче о распространении волновых пакетов на однородном дереве и к модели «шашки Фейнмана» движения электрона на одномерной решетке.

Область исследования

Дифференциальные уравнения.

Результаты будут применены для нахождения квазиклассических асимптотик решений нелокальных гиперболических задач. Они имеют важное значение как в теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и в некоммутативной геометрии и глобальном анализе. Полученные результаты могут быть также применены при исследовании нелокальных краевых задач, возникающих в механике.