Оценки расстояний до точных решений для задач со свободными границами
Руководитель проекта
Апушкинская Дарья Евгеньевна
профессорПри использовании математических моделей можно выделить следующую общую проблему. Пусть имеется краевая задача $Au=f$ для некоторого дифференциального оператора $A: V->V'$, где $V$ - банахово пространство, а $V'$ соответствующее сопряженное пространство. Как правило точное решение $u$ неизвестно и заменяется приближением $v$, полученным некоторым способом. Необходимо иметь методы, которые позволяют оценить насколько сильно $v$ отличается от $u$ (в терминах подходящей нормы или метрики). Оценка отклонения $v$ от $u$ должна быть явно вычисляемой и применимой для любого приближенного решения $v\in V$ независимо от способа его получения. Оценки такого рода дают объективную информацию о результатах математического эксперимента и позволяют сравнивать решения различных математических моделей.
Наш проект нацелен на анализ сложных в качественном и количественном отношении нелинейных задач теории уравнений в частных производных. Успешная реализация предлагаемого проекта обеспечит создание новых инструментов количественного анализа уравнений в частных производных.
Результаты проекта
Для задач с препятствиями для р-Лапласиана будут оценены эффекты, связанные с неточностью данных
(коэффициентов, граничных условий, начальных значений). Это обеспечит возможность анализа качества различных математических моделей. Без привлечения специальных свойств аппроксимаций или численных процедур, будут выведены гарантированные и полностью вычисляемые оценки отклонения приближенных решений из допустимого функционального класса от точных решений для некоторого класса задач со свободными границами, включающими задачи с тонким препятствием и задачи с препятствием для р-Лапласианов. В ряде случаев будут также найдены соответствующие тождества ошибок (error identities).
Область исследования
-
1) Задачи со свободными границами
2) Численные методы.