Краевые и смешанные задачи для функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений и их приложения

В рамках проекта будет исследован ряд задач для функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, тесно связанных между собой:

1.         Будут исследованы дифференциально-разностные уравнения (эллиптические, параболические и гиперболические) в неограниченных областях. Они обладают рядом принципиально новых свойств, например, к эллиптическим уравнениям неприменим принцип максимума. С другой стороны, в отличие от эллиптических дифференциальноразностных уравнений в ограниченной области, члены, порядок которых ниже порядка уравнения, могут влиять на его тип.

2.         Будет исследована гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с краевыми условиями смешанного типа, которая  может нарушаться внутри области даже при бесконечно гладкой правой части и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Актуальность этих задач связана с приложениями к теории многослойных пластин и оболочек, возникающих в авиации и космонавтике.

3.         Будет исследована фредгольмова разрешимость общей краевой задачи в ограниченной области для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями в шкале весовых пространств типа Кондратьева методами теории псевдодифференциальных операторов. Такие задачи впервые рассматривались T. Kato и J.B. McLeod в связи с уравнением пантографа, а также имеют важные приложения в астрофизике и теории нелинейных оптических систем с обратной связью.

4.         В задачах инженерии, гидродинамики, теории упругости и др. важную роль играет численное моделирование. Существенным аспектом является выбор конкретного метода построения приближений. Эта актуальная проблема сейчас решена лишь для некоторых частных случаев. В рамках проекта планируется получить более общий критерий оценки качества аппроксимации, выраженный в виде апостериорной оценки, что позволит не только судить об адекватности приближения, но и сравнивать аппроксимации между собой.

5.         Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений возникают в теории управления и, в частности, в задаче об успокоении системы управления с последействием (задача Н.Н. Красовского). В работах предшественников было показано, что гладкость обобщенных решений дифференциально-разностных уравнений может нарушаться во внутренних точках области. Оставалась следующая нерешенная задача: “Будут ли обобщенные собственные функции дифференциально-разностных операторов сохранять свою гладкость или нет?” Эта проблема будет исследована в проекте.

6.         Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями изучались многими математиками и физиками (А. Зоммерфельд, Н. Пиконе, Я.Д. Тамаркин, А. Кролл и др.). Если вместо краевых условий с добавлением нелокальных членов рассматриваются чисто нелокальные условия в виде интегралов Римана, вопрос об исследовании спектральных свойств таких операторов является нерешённым. Предполагается получить априорные оценки решений этой задачи и изучить спектральные свойства соответствующих операторов.

7.         Будут рассмотрены начальные и краевые задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений Власова с внешним магнитным полем, описывающие кинетику двухкомпонентной высокотемпературной плазмы. Предполагается получить достаточные условия существования глобальных решений таких задач с компактными носителями функций плотности распределения заряженных частиц. С физической точки зрения эти результаты соответствуют решению проблемы удержания плазмы при термоядерном синтезе.