Методы некоммутативной геометрии в теории индекса эллиптических операторов

На гладких замкнутых многообразиях проблема индекса эллиптических операторов была поставлена И.М. Гельфандом и решена в знаменитых работах М. Атьи и И. Зингера.  Проблемы индекса в других ситуациях привлекают внимание многих математиков и играют важную роль во многих областях математики и теоретической физики. В частности, имеется проблема индекса эллиптических операторов на многообразиях с особенностями. Понятие эллиптичности в этой ситуации восходит к работе В.А. Кондратьева в случае изолированных особенностей, а в случае неизолированных особенностей исследовалось многими авторами и научными школами. Однако общая проблема индекса на данный момент не решена даже в случае многообразий с коническими особенностями, хотя множество результатов в этой области было получено многими математиками. По этой причине проблема является актуальной. Кроме этого, открытой является проблема индекса нелокальных эллиптических операторов со сдвигами на многообразиях с особенностями.

В проекте исследуются формулы индекса для эллиптических псевдодифференциальных операторов (ПДО). Поэтому предполагается использование методов теории ПДО. При этом, исследование ПДО проводится не только на уровне фредгольмовой разрешимости, когда операторы достаточно рассматривать с точностью до прибавления компактных операторов, но и в ситуациях, когда необходимо использовать более точные результаты. Далее, в проекте исследуются проблемы индекса для нескольких близких классов операторов на многообразиях с особенностями: нелокальных ПДО, ассоциированных с действиями групп, периодических ПДО на многообразиях с цилиндрическими концами.

Мы предполагаем впервые применить в теории индекса на многообразиях с особенностями подход, связанный с теорией циклических когомологий.  Здесь ожидается, что аппарат циклических когомологий будет адекватным, чтобы записать априори громоздкие (по объективным причинам) выражения для топологического индекса эллиптических операторов в компактном виде.